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「元日（がんじつ）」は1月1日の1日全体を指し、「元旦（がんたん）」は1月1日の朝（日の出から午前中まで）を指すのが本来の違いです。
「旦」の字が地平線（一）から太陽（日）が昇る様子を表しているため、元旦は「元日の朝」を意味します。